Question

函數(shù)f（x）=lnx+

1

ax

-

1

a

（a為常數(shù)，a＞0）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=lnx+

1

ax

-

1

a

（a為常數(shù)，a＞0），知f′（x）=

ax-1

ax2

　（x＞0）．由已知得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，由此能求出a的取值范圍．
（2）當(dāng)a≥1時，由f′（x）＞0在（1，2）上恒成立，f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，f（x）_min=f（1）=0，當(dāng)0＜a≤

1

2

時，f′（x）＜0在（1，2）上恒成立，這時f（x）在[1，2]上為減函數(shù)，f（x）_min=f（2）=ln2-

1

2a

．當(dāng)

1

2

＜a＜1時，x∈[1，

1

a

）時，f′（x）＜0；x∈（

1

a

，2]時，f′（x）＞0，f（x）_min=-lna+1-

1

a

．由此能求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值．

解答：解：（1）∵f（x）=lnx+

1

ax

-

1

a

（a為常數(shù)，a＞0）．
∴f′（x）=

ax-1

ax2

　（x＞0）．
由已知得f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≥

1

x

在[1，+∞）上恒成立，
又∵當(dāng)x∈[1，+∞）時，

1

x

≤1，
∴a≥1，即a的取值范圍為[1，+∞）．
（2）當(dāng)a≥1時，∵f′（x）＞0在（1，2）上恒成立，f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（1）=0，
當(dāng)0＜a≤

1

2

時，∵f′（x）＜0在（1，2）上恒成立，這時f（x）在[1，2]上為減函數(shù)，
∴f（x）_min=f（2）=ln2-

1

2a

．
當(dāng)

1

2

＜a＜1時，∵x∈[1，

1

a

）時，f′（x）＜0；
x∈（

1

a

，2]時，f′（x）＞0，
∴f（x）_min=-lna+1-

1

a

．
綜上，f（x）在[1，2]上的最小值為 ①當(dāng)0＜a≤

1

2

時，f（x）_min=ln2-

1

2a

；②當(dāng)

1

2

＜a＜1時，f（x）_min=-lna+1-

1

a

．③當(dāng)a≥1時，f（x）_min=0．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．