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2.已知曲線C1的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\sqrt{10}cosθ}\\{y=\sqrt{10}sinθ}\end{array}\right.$(θ為參數),曲線C2的極坐標方程為ρ=2cosθ+6sinθ.
(1)將曲線C1方程,將曲線C2極坐標方程化為直角坐標方程;
(2)曲線C1,C2是否相交,若相交請求出公共弦的長,若不相交,請說明理由.

分析 (1)曲線C1的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\sqrt{10}cosθ}\\{y=\sqrt{10}sinθ}\end{array}\right.$(θ為參數),利用平方關系可得普通方程.∴曲線C2的極坐標方程為ρ=2cosθ+6sinθ,即ρ2=2ρcosθ+6ρsinθ,利用互化公式可得直角坐標方程.
(2)曲線C2的直角坐標方程:x2+y2=2x+6y,配方為:(x-1)2+(y-3)2=10.可得C2(1,3),半徑r=$\sqrt{10}$.曲線C1的平方關系:(x+2)2+y2=10,可得圓心C1(-2,0),半徑R=$\sqrt{10}$.求出|C1C2|即可判斷出位置關系,利用勾股定理即可得出公共弦長.

解答 解:(1)曲線C1的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\sqrt{10}cosθ}\\{y=\sqrt{10}sinθ}\end{array}\right.$(θ為參數),
利用平方關系可得:(x+2)2+y2=10.
∴曲線C2的極坐標方程為ρ=2cosθ+6sinθ,即ρ2=2ρcosθ+6ρsinθ,
化為直角坐標方程:x2+y2=2x+6y.
(2)曲線C2的直角坐標方程:x2+y2=2x+6y,配方為:(x-1)2+(y-3)2=10.
C2(1,3),半徑r=$\sqrt{10}$.
曲線C1的平方關系:(x+2)2+y2=10,可得圓心C1(-2,0),半徑R=$\sqrt{10}$.
|C1C2|=$\sqrt{(-2-1)^{2}+(0-3)^{2}}$=3$\sqrt{2}$∈(0,2$\sqrt{10}$).
∴兩圓相交.
設相交弦長為d,則$(\fracp9vv5xb5{2})^{2}$+$(\frac{3\sqrt{2}}{2})^{2}$=10,解得d=$\sqrt{22}$.
∴公共弦長為$\sqrt{22}$.

點評 本題考查了參數方程的應用、極坐標方程化為直角坐標方程、兩圓相交弦長公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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