Question

（本小題滿分14分）
設函數（）．
（1）當時，求的最小值；
（2）若，將的最小值記為，求的表達式；
（3）當時，關于的方程有且僅有一個實根，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）由已知有：

，……………………………2分
∵
∴
∴當時，………………………………………………4分
（2）由于，∴ ，
∴ 當 時，則時，；
當 時，則時，；
當 時，則當時，；
綜上， .                ……………………………8分
（3）當 時，，
方程 即，
即方程在區間有且僅有一個實根，……………………………9分
令 ，則有：
解法一、①若
 
∴ ………………………………………………………………10分
②   或  
綜上所述，當時，方程在區間有且僅有一個實根．……14分
解法二、由零點存在定理得
①， ，
∴； …………………………………………………………………10分
②當時，
，此時，符合題意；
③當時， ，此時，符合題意；
綜上，當時，方程在區間有且僅有一個實根．……14分

略