Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E為PB上的點，且2BE=EP．
（1）證明：AC⊥DE；
（2）若PC= BC，求二面角E﹣AC﹣P的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD

∴PD⊥AC

∵底面ABCD是正方形，

∴BD⊥AC，

∵PD、BD是平面PBD內的相交直線，

∴AC⊥平面PBD

∵DE平面PBD，

∴AC⊥DE

（2）解：分別以DP、DA、DC所在直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示

設BC=3，則CP=3 ，DP=3，結合2BE=EP可得

D（0，0，0），A（0，3，0），C（0，0，3），P（3，0，0），

E（1，2，2）

∴ =（0，3，﹣3）， =（3，0，﹣3）， =（1，2，﹣1）

設平面ACP的一個法向量為 =（x，y，z），可得

，取x=1得 =（1，1，1）

同理求得平面ACE的一個法向量為 =（﹣1，1，1）

∵cos＜ ， ＞= = ，∴二面角E﹣AC﹣P的余弦值等于

【解析】（1）由線面垂直的定義，得到PD⊥AC，在正方形ABCD中，證出BD⊥AC，根據線面垂直判定定理證出AC⊥平面PBD，從而得到AC⊥DE；（2）建立空間直角坐標系，如圖所示．得D、A、C、P、E的坐標，從而得到 、 、 的坐標，利用垂直向量數量積為零的方法，建立方程組解出 =（1，1，1）是平面ACP的一個法向量， =（﹣1，1，1）是平面ACE的一個法向量，利用空間向量的夾角公式即可算出二面角E﹣AC﹣P的余弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的性質的相關知識，掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行．