Question

如圖，在六面體ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，ED⊥DG，EF∥DG.且AB＝AD＝DE＝DG＝2，AC＝EF＝1.  (1)求證：BF∥平面ACGD； (2)求二面角D­CG­F的余弦值．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）

試題分析：（1）設DG的中點為M，連接AM，FM.可得BF//AM；（2）做出二面角平面角，利用三角函數求.
也可以利用空間向量求解.
試題解析：方法一　(1)設DG的中點為M，連接AM，FM.
則由已知條件易證四邊形DEFM是平行四邊形．
∴MF∥DE，且MF＝DE.∵平面ABC∥平面DEFG，
∴AB∥DE.∵AB＝DE，
∴MF∥AB，且MF＝AB，∴四邊形ABFM是平行四邊形．
∴BF∥AM.
又BF?平面ACGD，AM?平面ACGD，
故BF∥平面ACGD.
(2)由已知AD⊥平面DEFG，∴DE⊥AD.又DE⊥DG，
∴DE⊥平面ADGC.∵MF∥DE，∴MF⊥平面ADGC.
在平面ADGC中，過M作MN⊥GC，垂足為N，連接NF，則∠MNF為所求二面角的平面角．
連接CM.∵平面ABC∥平面DEFG，∴AC∥DM.又AC＝DM＝1，所以四邊形ACMD為平行四邊形，∴CM∥AD，且CM＝AD＝2.
∵AD⊥平面DEFG，∴CM⊥平面DEFG，∴CM⊥DG.

在Rt△CMG中，∵CM＝2，MG＝1，∴MN＝＝＝.
在Rt△FMN中，
∵MF＝2，MN＝，∴FN＝＝.
∴cos∠MNF＝＝＝，∴二面角D­CG­F的余弦值為.
方法二　由題意可得，AD，DE，DG兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標系．

則A(0,0,2)，B(2,0,2)，C(0,1,2)，E(2,0,0)，G(0,2,0)，F(2,1,0)．
(1)＝(2,1,0)－(2,0,2)＝(0,1，－2)，＝(0,2,0)－(0,1,2)＝(0,1，－2)，
∴＝，∴BF∥CG.又BF?平面ACGD，故BF∥平面ACGD.
(2)＝(0,2,0)－(2,1,0)＝(－2,1,0)．設平面BCGF的法向量為n₁＝(x，y，z)，
則令y＝2，則n₁＝(1,2,1)．則平面ADGC的法向量n₂＝(1,0,0)．
∴cos〈n₁，n₂〉＝＝＝.
由于所求的二面角為銳二面角，∴二面角D­CG­F的余弦值為.