Question

（2012•天津）下列函數中，既是偶函數，又在區間（1，2）內是增函數的為（　　）

• A．y=cos2x，x∈R
• B．y=log₂|x|，x∈R且x≠0
• C．y=

  ex-e-x

  2

  ，x∈R
• D．y=x³+1，x∈R

Answer 1

分析：利用函數奇偶性的定義可排除C，D，再由在區間（1，2）內有增區間，有減區間，可排除A，從而可得答案．

解答：解：對于A，令y=f（x）=cos2x，則f（-x）=cos（-2x）=cos2x=f（x），為偶函數，
而f（x）=cos2x在[0，

π

2

]上單調遞減，在[

π

2

，π]上單調遞增，
故f（x）=cos2x在（1，

π

2

]上單調遞減，在[

π

2

，2）上單調遞增，故排除A；
對于B，令y=f（x）=log₂|x|，x∈R且x≠0，同理可證f（x）為偶函數，當x∈（1，2）時，y=f（x）=log₂|x|=log₂x，為增函數，故B滿足題意；
對于C，令y=f（x）=

ex-e-x

2

，x∈R，f（-x）=-f（x），為奇函數，故可排除C；
而D，為非奇非偶函數，可排除D；
故選B．

點評：本題考查函數奇偶性的判斷與單調性的判斷，著重考查函數奇偶性與單調性的定義，考查“排除法”在解題中的作用，屬于基礎題．