Question

己知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，∠BCA=90°，AC=BC=2，又知BA₁⊥AC₁
（Ⅰ）求證：AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求點C到平面A₁AB的距離；
（Ⅲ）求二面角A-A₁B-C余弦值的大小．

Answer 1

解法一--幾何法：
（I）∠BCA=90°得BC⊥AC，因為A₁D⊥底ABC，所以A₁D⊥BC，A₁D∩AC=D，所以BC⊥面A₁AC，所以BC⊥AC₁
因為BA₁⊥AC₁，BA₁∩BC=B，所以AC₁⊥底A₁BC
（II）由（I）得AC₁⊥A₁C，所以A₁ACC₁是菱形，
所以AC=AA₁=A₁C=2，，
由，得
（III）設AC₁∩A₁C=O，作OE⊥A₁B于E，連AE，由（1）所以A₁B⊥AE，所以∠AEO為二面角平面角，
在Rt△A₁BC中，所以，所以二面角余弦
解法二--向量法：
（I）如圖，取AB的中點E，則DE∥BC，因為BC⊥AC，所以DE⊥AC，又A₁D⊥平面ABC，以DE，DC，DA₁為x，y，z軸建立空間坐標系，則A（0，-1，0），C（0，1，0），B（2，1，0），A₁（0，0，t），C₁（0，2，t），
，，，
由，知A₁C⊥CB，
又BA₁⊥AC₁，從而AC₁⊥平面A₁BC；
（II）由，得
設平面A₁AB的法向量為，，，所以，設z=1，則
所以點C到平面A₁AB的距離=
（III）再設平面A₁BC的法向量為，，，
所以，設z=1，則，
故=，根據法向量的方向可知二面角A-A₁B-C的余弦值大小為
分析：解法一--幾何法：
（I）根據已知中∠BCA=90°得BC⊥AC，由A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，可得A₁D⊥BC，結合線面垂直判定定理得BC⊥面A₁AC，所以BC⊥AC₁，又由BA₁⊥AC₁，再由線面垂直的判定定理，可得AC₁⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）根據（I）的結論可得A₁ACC₁是菱形，進而根據AC=BC=2，我們可以根據，得到點C到平面A₁AB的距離；
（Ⅲ）令AC₁∩A₁C=O，作OE⊥A₁B于E，連AE，由（I）中結論可得A₁B⊥AE，故∠AEO為二面角平面角，解三角形AEO即可得到答案．
解法二--向量法：（I）取AB的中點E，則DE∥BC，因為BC⊥AC，所以DE⊥AC，又A₁D⊥平面ABC，以DE，DC，DA₁為x，y，z軸建立空間坐標系，求出各點坐標，進而得到相應向量的坐標，利用向量垂直數量積為0，可以判斷出AC₁與平面A₁BC內兩條件相交直線都垂直，進而得AC₁⊥平面A₁BC；
（II）C到平面A₁AB的距離，其中平面A₁AB的法向量，求出法向量的坐標，代入即可求出答案．
（III）分別求出平面AA₁B與平面A₁BC的法向量，代入向量夾角公式，即可求出答案．
點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，點面之間距離的計算，二面角的平面角，解答立體幾何有幾何法和向量法兩種方法，前者要求熟練掌握相應的判定定理、性質定理，要求有較強的邏輯性，后者可將空間問題轉化為向量問題，需要記憶大量公式和較強的計算能力．