Question

設(shè)A、B是橢圓3x²＋y²＝λ上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N(1，3)是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與橢圓相交于C、D兩點(diǎn)．

(Ⅰ)確定λ的取值范圍，并求直線(xiàn)AB的方程；

(Ⅱ)試判斷是否存在這樣的λ，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上？并說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解法1：依題意，可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為整理， 　　得　① 　　設(shè)①的兩個(gè)不同的根， 　　　② 　　是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)， 　　得 　　解得＝－1，代入②得，＞12，即的取值范圍是(12，＋)． 　　于是，直線(xiàn)AB的方程為 　　解法2：設(shè) 　　 　　依題意， 　　 　　(Ⅱ)解法1：代入橢圓方程， 　　整理得　③ 　　③的兩根， 　　 　　于是由弦長(zhǎng)公式可得　④ 　　將直線(xiàn)AB的方程　⑤ 　　同理可得　⑥ 　　 　　假設(shè)在在＞12，使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，則CD必為圓的直徑，點(diǎn)M為圓心．點(diǎn)M到直線(xiàn)AB的距離為　⑦ 　　于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 　　 　　故當(dāng)時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)均在以M為圓心，為半徑的圓上． 　　(注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得： 　　A、B、C、D共圓△ACD為直角三角形，A為直角 　　　⑧ 　　由⑥式知，⑧式左邊＝ 　　由④和⑦知，⑧式右邊＝ 　　 　　∴⑧式成立，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓 　　解法2：由(Ⅱ)解法1及． 　　代入橢圓方程， 　　整理得③解得． 　　將直線(xiàn)AB的方程代入橢圓方程，整理得 　　⑤解得． 　　不妨設(shè) 　　∴ 　　 　　計(jì)算可得，∴A在以CD為直徑的圓上． 　　又點(diǎn)A與B關(guān)于CD對(duì)稱(chēng)，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓． 　　(注：也可用勾股定理證明AC⊥AD)