Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，AB是⊙O的直徑，弦BD、CA的延長線相交于點E，EF垂直BA的延長線于點F
求證：（1）∠DEA=∠DFA；
（2）AB²=BE•BD-AE•AC．

Answer 1

分析：（1）連接AD，利用AB為圓的直徑結合EF與AB的垂直關系，通過證明A，D，E，F四點共圓即可證得結論；
（2）由（1）知，BD•BE=BA•BF，再利用三角形△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用線段間的關系即求得AB²=BE•BD-AE•AC．

解答：證明：（1）連結AD因為AB為圓的直徑，所以∠ADB=90°
又EF⊥AB∠EFA=90°則A，B，C，D四點共圓…（4分）
∴∠DEA=∠DFA…（5分）
（2）由（1）知BD•BE=BA•BF…（6分）
又△ABC∽△AEF∴

AB

AE

=

AC

AF

即AB•AF=AE•AC…（8分）
∴BE•BD-AE•AC=BA•BF-AB•AF=AB（BF-AF）=AB²…（10分）

點評：本小題主要考查與圓有關的比例線段、四點共圓的證明方法、三角形相似等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于基礎題．