Question

如圖，在組合體中，ABCD-A₁B₁C₁D₁是一個長方體，P-ABCD是一個四棱錐．AB=4，BC=3，
點P∈平面CC₁D₁D，且PD=PC=2

2

．
（Ⅰ）證明：PD⊥平面PBC；
（Ⅱ）求PA與平面ABCD所成的角的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ），要證明PD⊥平面PBC，只需證明PD垂直于平面PBC的兩條相交直線即可，由 PD=PC=

2

可得PD⊥PC，而ABCD-A₁B₁C₁D₁是一個長方體，容易證明BC⊥面CC₁D₁D，而P∈平面CC₁D₁D，所以PD?面CC₁D₁D，容易得到PD⊥BC，從而得證；
（II）過P點在平面CC₁D₁D作PE⊥CD于E，連接AE，可得∠PAE就是PA與平面ABCD所成的角，解三角形PAE即可得到PA與平面ABCD所成的角的正切值．

解答：解：（Ⅰ）證明：因為 PD=PC=

2

，CD=AB=2，
所以△PCD為等腰直角三角形，所以PD⊥PC．（1分）
因為ABCD-A₁B₁C₁D₁是一個長方體，
所以BC⊥面CC₁D₁D，而P∈平面CC₁D₁D，
所以PD?面CC₁D₁D，所以BC⊥PD．（3分）
因為PD垂直于平面PBC內的兩條相交直線PC和BC，
由線面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC．（6分）
解：（II）過P點在平面CC₁D₁D作PE⊥CD于E，連接AE
∵平面ABCD⊥平面PCD
∴PE⊥平面ABCD
∴∠PAE就是PA與平面ABCD所成的角，
∵PE=2，AE=

13

∴tan∠PAE=

PE

AE

=

2 13

13

∴PA與平面ABCD所成的角的正切值為

2 13

13

點評：本題考查線面垂直的判定及線面平行的判定，直線與平面的夾角，要注意線面垂直中的轉化思想，（II）中要注意轉化到平面解進行解答．