Question

12．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面三角形ABC是直角三角形，四邊形A₁ACC₁和四邊形A₁ABB₁均為正方形，D，E，F分別是A₁B₁，C₁C，BC的中點，AB=1．
（Ⅰ）證明：DF⊥平面ABE；
（Ⅱ）求三棱錐A₁-ABE的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立如圖所示的坐標系，利用向量方法證明：DF⊥平面ABE；
（Ⅱ）利用等體積轉化，求三棱錐A₁-ABE的體積．

解答 （Ⅰ）證明：建立如圖所示的坐標系，則D（$\frac{1}{2}$，0，1），F（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），A（0，0，0），B（1，0，0），E（0，1，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{DF}$=（0，$\frac{1}{2}$，-1），$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，1，$\frac{1}{2}$），
設平面ABE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（0，1，-2），
∴$\overrightarrow{DF}$∥$\overrightarrow{n}$，
∴DF⊥平面ABE；
（Ⅱ）解：三棱錐A₁-ABE的體積=三棱錐E-A₁AB的體積=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐體積的計算，考查向量方法的運用，屬于中檔題．