Question

按照某學者的理論，假設一個人生產某產品單件成本為a元，如果他賣出該產品的單價為m元，則他的滿意度為；如果他買進該產品的單價為n元，則他的滿意度為．如果一個人對兩種交易（賣出或買進）的滿意度分別為h₁和h₂，則他對這兩種交易的綜合滿意度為．現假設甲生產A、B兩種產品的單件成本分別為12元和5元，乙生產A、B兩種產品的單件成本分別為3元和20元，設產品A、B的單價分別為m_A元和m_B元，甲買進A與賣出B的綜合滿意度為h_甲，乙賣出A與買進B的綜合滿意度為h_乙
（1）求h_甲和h_乙關于m_A、m_B的表達式；當時，求證：h_甲=h_乙；
（2）設，當m_A、m_B分別為多少時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？
（3）記（2）中最大的綜合滿意度為h，試問能否適當選取m_A，m_B的值，使得h_甲≥h和h_乙≥h同時成立，但等號不同時成立？試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）表示出甲和乙的滿意度，整理出最簡形式，在條件時，表示出要證明的相等的兩個式子，得到兩個式子相等．
（2）在上一問表示出的結果中，整理出關于變量的符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出兩個人滿意度最大時的結果，并且寫出等號成立的條件．
（3）先寫出結論：不能由（2）知h=．因為h_甲h_乙≤，不能取到m_A，m_B的值，使得h_甲≥h和h_乙≥h同時成立，但等號不同時成立．?
解答：解：（1）甲：買進A的滿意度為h_A1=，賣出B的滿意度為h_B1=；
所以，甲買進A與賣出B的綜合滿意度為h_甲===；
乙：賣出A的滿意度為：h_A2=，買進B的滿意度為：h_B2=；
所以，乙賣出A與買進B的綜合滿意度h_乙===；
 當時，h_甲==，
h_乙==，所以h_甲=h_乙
（2）設m_B=x（其中x＞0），當時，
h_甲=h_乙==≤==；
當且僅當x=，即x=10時，上式“=”成立，即m_B=10，m_A=×10=6時，
甲、乙兩人的綜合滿意度均最大，最大綜合滿意度為
（3）不能由（2）知h=．因為h_甲h_乙≤
因此，不能取到m_A，m_B的值，使得h_甲≥h和h_乙≥h同時成立，但等號不同時成立．?
點評：本題考查函數模型的選擇和應用，本題解題的關鍵是理解題意，這是最主要的一點，題目中所用的知識點不復雜，只要注意運算就可以．