Question

已知拋物線G的頂點在原點，焦點在y軸正半軸上，點P(m，4)到其準線的距離等于5，
(Ⅰ)求拋物線G的方程；
( Ⅱ)如圖，過拋物線G的焦點的直線依次與拋物線G及圓x²+(y-1)²=1交于A，C，D，B四點，試證明|AC|·
|BD|為定值；
(Ⅲ)過A，B分別作拋物線G的切線l₁，l₂，且l₁，l₂交于點M，試求△ACM與△BDM面積之和的最小值．

Answer 1

解：(Ⅰ)由題知，拋物線的準線方程為y+l=0，=1，
所以拋物線G的方程為x²=4y。
(Ⅱ)設直線AB方程y=kx+1交拋物線C于點A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
由拋物線定義知|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+l， 
所以，|AC|=y₁，|BD|=y₂，
由，得，
顯然△＞0，則，
所以，，所以|AC|·|BD|為定值1。
(Ⅲ)由得，
直線AM的方程為，①
直線BM的方程為，②
由②-①，得，
所以，∴y=-1，
所以點M的坐標為（2k，-1），
點M到直線AB的距離，
弦AB長為，
△ACM與△BDM面積之和
，
當k=0時，AB方程為y=1時，△ACM與△BDM面積之和最小值為2。