Question

已知關于x的方程有唯一解，則實數a的值為________．

Answer 1

1
分析：考察函數 f（x）=，可得它在 R 上為偶函數，因此圖象關于 y 軸對稱，由題意可得 f（0）=0，解得 a=1 或 a=-3．經檢驗，當 a=-3 時，
f（x） ）=0 至少有三個根，不滿足題意，故把 a=-3舍去，而a=1滿足條件，由此得出結論．
解答：考察函數 f（x）=，可得它在 R 上為偶函數，因此圖象關于 y 軸對稱．
因為 f（x）=0 有唯一解，因此這個解一定是 x=0，即 f（0）=0，即 （a-1）（a+3）=0．
解得 a=1 或 a=-3．
當 a=1 時，f（x）=≥0+2log₂2-2=0，當且僅當x=0時取等號，因此關于x的方程有唯一解 x=0．
當 a=-3 時，f（x）=，
因為 f（）=30-6×5+6=6＞0，f（）=14-6×4+6=-4＜0，
因此 f（x）=0 至少有三個根，不滿足題意，故把 a=-3舍去．
所以，若方程有唯一解，則 a=1．
故答案為 1．
點評：本題主要考查方程的根的存在性及個數判斷，函數的奇偶性的性質應用，注意排除a=-3，這是解題的難點．