Question

已知向量．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）已知a，b，c分別為△ABC內角A，B，C的對邊，A為銳角，a=1，c=，且f（A）恰是f（x）在[0，]上的最大值，求A，b和△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據向量數量積的坐標公式，并且結合三角函數的降次公式和輔助角公式化簡，得f（x）=sin（2x+）+2，再結合三角函數的周期公式，即可得到f（x）的最小正周期T；
（II）根據（I）的表達式并且A為銳角，得當A=時，f（x）有最大值3，結合余弦定理和題中數據列式，解出b=1或b=2，最后利用正弦定理可得△ABC的面積．
解答：解：（Ⅰ）∵=（cosx+sinx，-）
∴（）•=cosx（cosx+sinx）+=（1+cos2x）+sin2x+…（2分）
∴f（x）=（1+cos2x）+sin2x+=sin2x+cos2x+2=sin（2x+）+2…（5分）．
∴f（x）的最小正周期T==π．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（A）=sin（2A+）+2
∵A為銳角，＜2A+＜
∴當2A+=時，即A=時，f（x）有最大值3，…（8分）
由余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA，
∴，∴b=1或b=2，…（10分）
∵△ABC的面積S=bcsinA
∴當b=1時，S=×1××sin=；當當b=2時，S=×2××sin=．…（12分）
綜上所述，得A=，b=1，S_△ABC=或A=，b=2，S_△ABC=．
點評：本題是一道三角函數綜合題，著重考查了運用正余弦定理解三角形、三角函數的周期性及其求法、三角恒等變形和平面向量數量積的運算等知識點，屬于中檔題．