Question

已知點P為雙曲線右支上一點，F₁，F₂為雙曲線的左、右焦點．O為坐標原點，若且△PF₁F₂的面積為2ac（c為雙曲線半焦距）則雙曲線的離心率為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據向量數量積的運算性質，可得||=||，得△PF₁F₂是以P為直角頂點的直角三角形．由雙曲線的定義結合勾股定理，算出S_△PF1F2=c²-a²=2ac，將其轉化為關于離心率e的方程，解之即可得到該雙曲線的離心率．
解答：解：∵=
∴==0
可得||=||=||，所以△PF₁F₂是以P為直角頂點的直角三角形
∵||-||=±2a
∴（||-||）²=||²-2||•||+||²=4a²
∵||²+||²=4c²，||•||=2S_△PF1F2，
∴4c²-4S_△PF1F2=4a²，得S_△PF1F2=c²-a²
∵由題意△PF₁F₂的面積為2ac，
∴c²-a²=2ac，兩邊都除以a²，得-1=2•
整理，得e²-2e-1=0，解之得e=1（舍負）
故答案為：1+
點評：本題給出雙曲線的焦點三角是直角三角形，求該雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的簡單幾何性質、雙曲線的離心率定義及其求法等知識，屬于中檔題．