Question

已知函數f（x）=x³-3x，x∈[-2，2]和函數g（x）=ax-1，x∈[-2，2]，若對于?x₁∈[-2，2]，總?x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，則實數a的取值范圍

(-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：根據對于?x₁∈[-2，2]，總?x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，得到函數f（x）在[-2，2]上值域是g（x）在[-2，2]上值域的子集，下面利用導數求函數f（x）、g（x）在[-2，2]上值域，并列出不等式，解此不等式組即可求得實數a的取值范圍

解答：解：∵f（x）=x³-3x，
∴f′（x）=3（x-1）（x+1），
當x∈[-2，-1]，f′（x）≥0，x∈（-1，1），f′（x）＜0；x∈（1，2]，f′（x）＞0．
∴f（x）在[-2，-1]上是增函數，（-1，1）上遞減，（1，2）遞增；
且f（-2）=-2，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2．
∴f（x）的值域A=[-2，2]；
又∵g（x）=ax+1（a＞0）在[-2，2]上是增函數，
∴g（x）的值域B=[-2a-1，2a-1]；
根據題意，有A⊆B
∴

-2a-1≤-2 2a-1≥2 a＞0

⇒a≥

3

2

．
同理g（x）=ax+1（a＜0）在[-2，2]上是減函數，
可以求出a≤-

3

2

．
故實數a的取值范圍是：（-∞，-

3

2

]∪[-

3

2

，+∞）．
故答案為：（-∞，-

3

2

]∪[-

3

2

，+∞）．

點評：此題是個中檔題．考查利用導數研究函數在閉區間上的最值問題，難點是題意的理解與轉化，體現了轉化的思想．同時也考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力，