Question

在直角坐標系xOy中，橢圓C₁：=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂．F₂也是拋物線C₂：y²=4x的焦點，點M為C₁與C₂在第一象限的交點，且|MF₂|=．
（Ⅰ）求C₁的方程；
（Ⅱ）平面上的點N滿足，直線l∥MN，且與C₁交于A，B兩點，若，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先利用F₂是拋物線C₂：y²=4x的焦點求出F₂的坐標，再利用|MF₂|=以及拋物線的定義求出點M的坐標，可以得到關于橢圓方程中參數的兩個等式聯立即可求C₁的方程；
（Ⅱ）先利用，以及直線l∥MN得出直線l與OM的斜率相同，設出直線l的方程，把直線方程與橢圓方程聯立得到關于A，B兩點坐標的等式，整理代入，即可求出直線l的方程．
解答：解：（Ⅰ）由C₂：y²=4x知F₂（1，0）．
設M（x₁，y₁），M在C₂上，因為，
所以，得，．M在C₁上，且橢圓C₁的半焦距c=1，
于是
消去b²并整理得9a⁴-37a²+4=0，解得a=2（不合題意，舍去）．
故橢圓C₁的方程為．
（Ⅱ）由知四邊形MF₁NF₂是平行四邊形，其中心為坐標原點O，
因為l∥MN，所以l與OM的斜率相同，
故l的斜率．設l的方程為．
由
消去y并化簡得9x²-16mx+8m²-4=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），，．
因為，所以x₁x₂+y₁y₂=0．
x₁x₂+y₁y₂
=x₁x₂+6（x₁-m）（x₂-m）
=7x₁x₂-6m（x₁+x₂）+6m²
==．
所以．此時△=（16m）²-4×9（8m²-4）＞0，
故所求直線l的方程為，或．
點評：本題是對橢圓與拋物線以及直線與橢圓位置關系的綜合考查．直線與圓錐曲線的位置關系，由于集中交匯了直線，圓錐曲線兩章的知識內容，綜合性強，能力要求高，還涉及到函數，方程，不等式，平面幾何等許多知識，可以有效的考查函數與方程的思想，數形結合的思想，分類討論的思想和轉化化歸的思想，因此，這一部分內容也成了高考的熱點和重點．