Question

設拋物線過定點A(2,0)，且以直線x=-2為準線.

(1)求拋物線頂點的軌跡C的方程；

(2)已知點B(0，-5)，軌跡C上是否存在滿足·=0的M、N兩點？證明你的結論.

Answer 1

解：(1)設拋物線頂點為P(x,y),則拋物線的焦點F(2x+2,y),

     由拋物線定義可得=4,

    ∴+=1.

    ∴軌跡C的方程為+=1(x≠-2).

    (2)不存在.

    設過點B(0，-5)，斜率為k的直線方程為y=kx-5(斜率不存在時，顯然不符合題意),

    由∴(4+k²)x²-10kx+9=0.

    由Δ≥0,得k²≥.

    假設在軌跡C上存在兩點M、N，令MB、NB的斜率分別為k₁、k₂,則|k₁|≥,|k₂|≥.

    顯然不可能滿足k₁·k₂=-1,

    ∴軌跡C上不存在滿足·=0的兩點.