Question

（2012•丹東模擬）已知橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)經過點(

3

2

，1)，一個焦點是F（0，1）．
（I）求橢圓C的方程；
（II）設橢圓C與y軸的兩個交點為A₁、A₂，不在y軸上的動點P在直線y=a²上運動，直線PA₁、PA₂分別與橢圓C交于點M、N，證明：直線MN經過焦點F．

Answer 1

分析：（I）利用橢圓的定義確定a的值，進而可求b，即可求得橢圓C的方程；
（II）設出MN的方程與橢圓方程聯立，由直線PA₁方程、直線PA₂方程確定P的橫坐標，進而利用韋達定理，可建立等式，由此可證結論．

解答：（I）解：由題意，橢圓的另一個焦點是F'（0，-1），
∵橢圓經過點(

3

2

，1)，
∴a=

( 3 2 )2+4 + ( 3 2 )2+0

2

=2，
∵c=1，∴b=

a2-c2

=

3

∴橢圓C的方程為

y2

4

+

x2

3

=1；
（II）證明：∵A₁、M、P三點共線，A₂、N、P三點也共線，
∴P是直線PA₁與直線PA₂的交點，
顯然MN斜率存在時，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
設MN：y=kx+m，代入

y2

4

+

x2

3

=1，得（3k²+4）x²+6kmx+4m²-12=0，
∴x1+x2=-

6km

3k2+4

，x1x2=

3m2-12

3k2+4

，
直線PA₁方程y=

kx1+m-2

x1

x+2，直線PA₂方程y=

kx2+m+2

x2

x-2，
y=4分別代入，得x=

2x1

kx1+m-2

，x=

6x2

kx2+m+2

，
∴

2x1

kx1+m-2

=

6x2

kx2+m+2

，即2kx₁x₂-m（x₁+x₂-4x₂）-2（x₁+x₂+2x₂）=0，
∴2k×

3m2-12

3k2+4

-m（-

6km

3k2+4

-4x₂）-2（-

6km

3k2+4

+2x₂）=0，
∴（m-1）（

3km+6k

3k2+4

+2x₂）=0對任意的x₂都成立
∴m=1
∴直線MN經過焦點F．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的定義，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．