Question

已知數列{a_n}的首項，．
（1）求證：數列為等比數列；
（2）記，若S_n＜100，求最大的正整數n．
（3）是否存在互不相等的正整數m，s，n，使m，s，n成等差數列且a_m-1，a_s-1，a_n-1成等比數列，如果存在，請給出證明；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵，∴，（2分）
∵，∴，（3分）
∴，
∴數列為等比數列．（4分）
（2）由（1）可求得，∴．（5分）=，（7分）
若S_n＜100，則，∴n_max=99．（9分）
（3）假設存在，則m+n=2s，（a_m-1）•（a_n-1）=（a_s-1）²，（10分）
∵，∴．（12分）
化簡得：3^m+3ⁿ=2•3^s，（13分）
∵，當且僅當m=n時等號成立．（15分）
又m，n，s互不相等，∴不存在．（16分）
分析：（1）根據a_n+1和a_n關系式進行化簡，
（2）先由（1）得出數列{}的通項公式，然后根據分組方法求出S_n，解不等式S_n＜100即可；
（3）假設存在正整數m，s，n，根據等比數列性質得出（a_m-1）•（a_n-1）=（a_s-1）²并化簡，再根據a+b≥2，確定是否存在．
點評：本題考查了等比數列的性質、前n項和的求法以及不等式的解法，綜合性很強，本題要注意a+b≥2運用，本題有一定難度．