Question

設F₁，F₂是橢圓

x2

a2

+y2=1(a＞1)的兩個焦點，點P是該橢圓上的動點，若∠F₁PF₂的最大值為

π

2

．
（1）求該橢圓的方程；  
（2）求以該橢圓的長軸AB為一底，另一底CD的兩端點也在橢圓上的梯形ABCD的最大面積．

Answer 1

分析：（1）根據∠F₁PF₂的最大值為

π

2

，可得c=1，又b=1，所以a=

2

，從而可得橢圓的方程；
（2）設D(

2

cosθ，sinθ)(0＜θ＜

π

2

)，則梯形的面積S=2•

1

2

(

2

cosθ+

2

)•sinθ=

2

(cosθ+1)sinθ，構建函數f（θ）=（cosθ+1）sinθ，確定函數的單調性，從而可得函數的最值，即可求得梯形ABCD的最大面積．

解答：解：（1）由于∠F₁PF₂的最大值為

π

2

，則P 的坐標為（0，±1），即c=1
∵b=1，∴a=

2

∴橢圓的方程為：

x2

2

+y2=1
（2）由于AB∥CD，所以C，D關于y軸對稱，設D(

2

cosθ，sinθ)(0＜θ＜

π

2

)
則梯形的面積S=2•

1

2

(

2

cosθ+

2

)•sinθ=

2

(cosθ+1)sinθ，
記f（θ）=（cosθ+1）sinθ，則f'（θ）=cos²θ-sin²θ+cosθ=2cos²θ+cosθ-1=0得cosθ=

1

2

，即θ=

π

3

當θ∈(0，

π

3

)時，f'（θ）＞0，f（θ）在(0，

π

3

)單調遞增；
當θ∈(

π

3

，

π

2

)時，f'（θ）＜0，f（θ）在(

π

3

，

π

2

)單調遞增；
所以fmax(θ)=f(

π

3

)=

3 3

4

，故Smax=

3 6

4

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查求函數的最值，解題的關鍵是正確設點，利用三角函數解決問題．