Question

已知橢圓:的一個焦點是（1，0），兩個焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點(4,0)且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于、兩點，設點關于軸的對稱點為.

（ⅰ）求證：直線過軸上一定點，并求出此定點坐標；

（ⅱ）求△面積的取值范圍.

Answer 1

解：（Ⅰ）因為橢圓的一個焦點是（1，0），所以半焦距=1.

因為橢圓兩個焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形.

所以，解得所以橢圓的標準方程為. ……………4分                

（Ⅱ）（i）設直線：與聯(lián)立并消去得：.

記，，，

.  由A關于軸的對稱點為，得，根據(jù)題設條件設定點為（，0），得，即.所以

即定點（1 ， 0）. ……………8分

（ii）由（i）中判別式，解得.     可知直線過定點 (1,0).

所以   得,  令記，得，當時，.

在上為增函數(shù). 所以 ，

得.故△OA₁B的面積取值范圍是.  ……………12分