Question

（2012•包頭一模）如圖，A，B，C，D四點在同一圓上，BC與AD的延長線交于點E，點F在BA的延長線上．
（Ⅰ）若

EC

EB

=

1

3

，

ED

EA

=

1

2

，求

DC

AB

的值；
（Ⅱ）若EF²=FA•FB，證明：EF∥CD．

Answer 1

分析：（I）根據圓內接四邊形的性質，可得∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B，從而△EDC∽△EBA，所以有

ED

EB

=

EC

EA

=

DC

AB

 ，利用比例的性質可得

1

2

•

1

3

=(

DC

AB

)2，得到

DC

AB

=

6

6

；
（II）根據題意中的比例中項，可得

EF

FA

=

FB

FE

，結合公共角可得△FAE∽△FEB，所以∠FEA=∠EBF，再由（I）的結論∠EDC=∠EBF，利用等量代換可得∠FEA=∠EDC，內錯角相等，所以EF∥CD．

解答：解：（Ⅰ）∵A，B，C，D四點共圓，
∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B
∴△EDC∽△EBA，可得

ED

EB

=

EC

EA

=

DC

AB

 ，
∴

ED

EB

•

EC

EA

=(

DC

AB

)2，即

1

2

• 

1

3

=(

DC

AB

)2
∴

DC

AB

=

6

6

（Ⅱ）∵EF²=FA•FB，
∴

EF

FA

=

FB

FE

，
又∵∠EFA=∠BFE，
∴△FAE∽△FEB，可得∠FEA=∠EBF，
又∵A，B，C，D四點共圓，
∴∠EDC=∠EBF，
∴∠FEA=∠EDC，
∴EF∥CD．

點評：本題在圓內接四邊形的條件下，一方面證明兩條直線平行，另一方面求線段的比值．著重考查了圓中的比例線段、圓內接四邊形的性質和相似三角形的判定與性質等知識點，屬于中檔題．