Question

如圖，在正三棱錐S-ABC中，M、N分別為棱SC、BC的中點，并且AM⊥MN，若側棱長SA=，則正三棱錐S-ABC的外接球的表面積為（ ）

A．9π
B．12π
C．16π
D．32π

Answer 1

【答案】分析：由題意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，將此三棱錐補成正方體，則它們有相同的外接球，正方體的對角線就是球的直徑，求出直徑即可求出球的表面積．
解答：解：∵三棱錐S-ABC正棱錐，∴SB⊥AC（對棱互相垂直）∴MN⊥AC
又∵MN⊥AM而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC
∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，將此三棱錐補成正方體，則它們有相同的外接球
∴2R=，∴R=，∴S=4πR²=，
故選A．
點評：本題是基礎題，考查三棱錐的外接球的表面積，考查空間想象能力，三棱錐擴展為正方體，它的對角線長就是外接球的直徑，是解決本題的關鍵．