Question

給定正整數n（n≥2）按圖方式構成三角形數表：第一行依次寫上數1，2，3，…，n，在下面一行的每相鄰兩個數的正中間上方寫上這兩個數之和，得到上面一行的數（比下一行少一個數），依此類推，最后一行（第n行）只有一個數．例如n=6時數表如圖所示，則當n=2010時最后一行的數是

2011×2²⁰⁰⁸

．

Answer 1

分析：根據題意，觀察圖表中每一行的第一個數，依次為1、3、8、20、48、…，結合數列的知識，可得變化的規律，進而可得答案．

解答：解：根據題意，觀察圖表可得，n=1時，最后一行的數是1，有（1+1）×2^1-2=2×

1

2

=1成立，
n=2時，最后一行的數（即圖表第2行第1個數）是3，有（2+1）×2^2-2=3×1=3成立，
n=3時，最后一行的數（即圖表第3行第1個數）是8，有（3+1）×2^3-2=4×2=8成立，
n=4時，最后一行的數（即圖表第4行第1個數）是20，有（4+1）×2^4-2=5×4=20成立，
n=5時，最后一行的數（即圖表第5行第1個數）是48，有（5+1）×2^5-2=6×8=48成立，
…
以此類推，
當n=k時最后一行的數是（k+1）×2^k-2，
當n=2010時最后一行的數是（2010+1）×2^2010-2=2011×2²⁰⁰⁸，
故答案為2011×2²⁰⁰⁸．

點評：本題考查歸納推理的運用，類似與歸納數列的通項公式，解題時注意結合常見數列的性質來分析．