Question

已知等差數列{a_n}滿足：a₃=7，a₅+a₇=26，{a_n]的前n項和為S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）令b_n=

1

an2

（n∈N^*），求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）等差數列{a_n}，首項為a₁，設公差為d，代入a₃=7，a₅+a₇=26，求出d和首項，根據scale的性質，求出a_n，S_n；
（2）把通項公式a_n，代入b_n，利用裂項法求出其前n項和即可

解答：解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，
∵等差數列{a_n}滿足：a₃=7，a₅+a₇=26，
∴a₁+2d=7①，2a₁+10d=26②，
由①②可得，a₁=3，d=2，
∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1，
S_n=

n(a1+an)

2

=

n(3+2n+1)

2

=n（n+2）；
（2）由（1）知a_n=2n+1，所以b_n=

1

an2-1

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），
所以T_n=

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

4

（1-

1

n+1

）=

n

4(n+1)

，
即數列{b_n}的前n項和T_n=

n

4(n+1)

．

點評：本題考查等差數列的通項與求和，考查裂項法的運用，屬于中檔題．