Question

已知空間四邊形ABCD，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊BC、DC的三等分點(diǎn)（如圖），求證：
（1）對(duì)角線(xiàn)AC、BD是異面直線(xiàn)；
（2）直線(xiàn)EF和HG必交于一點(diǎn)，且交點(diǎn)在AC上．

Answer 1

分析：（1）利用反證法證明對(duì)角線(xiàn)AC、BD是共面直線(xiàn)，推出矛盾，從而證明是異面直
（2）說(shuō)明直線(xiàn)EF和HG必交于一點(diǎn)，然后證明這點(diǎn)在平面ADC內(nèi)．又在平面ABC內(nèi)，必在它們的交線(xiàn)AC上．

解答：證明：（1）假設(shè)對(duì)角線(xiàn)AC、BD在同一平面α內(nèi)，
則A、B、C、D都在平面α內(nèi)，這與ABCD是空間四邊形矛盾，
∴AC、BD是異面直線(xiàn)．
（2）∵E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，∴EH

∥

.

1

2

BD．
又F、G分別是BC、DC的三等分點(diǎn)，
∴FG

∥

.

2

3

BD．∴EH∥FG，且EH＜FG．
∴FE與GH相交．
設(shè)交點(diǎn)為O，又O在GH上，GH在平面ADC內(nèi)，∴O在平面ADC內(nèi)．
同理，O在平面ABC內(nèi)．
從而O在平面ADC與平面ABC的交線(xiàn)AC上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線(xiàn)的判定，平面的基本性質(zhì)及推論，考查學(xué)生邏輯思維能力，是基礎(chǔ)題．