Question

已知函數f(x)=

x-1

x+2

 ， x∈[3，5]，
（1）判斷函數f（x）的單調性，并證明；   
（2）求函數f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）任取x₁，x₂∈[3，5]且x₁＜x₂，可求得f(x1)-f(x2)=

3(x1-x2)

(x1+2)(x2+2)

，結合條件，判斷其符號，即可證明其單調性；
（2）根據（1）判斷的函數的單調性即可求得函數f（x）的最大值和最小值．

解答：證明：（1）設任取x₁，x₂∈[3，5]且x₁＜x₂f(x1)-f(x2)=

x1-1

x1+2

-

x2-1

x2+2

=

3(x1-x2)

(x1+2)(x2+2)

∵3≤x₁＜x₂≤5∴x₁-x₂＜0，（x₁+2）（x₂+2）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）∴f（x）在[3，5]上為增函數．
解：（2）由（1）知，f（x）在[3，5]上為增函數，則f(x)max=f(5)=

4

7

，f(x)min=f(3)=

2

5

．

點評：本題考查函數單調性的性質，重點考查定義法判斷函數的單調性與最值，屬于中檔題．