Question

已知直線（a-2）y=（3a-1）x-1    
①求證：無論a為何值時直線總經過第一象限； 
②為使這直線不過第二象限，求a的范圍．

Answer 1

分析：①將方程整理為a（3x-y）+（-x+2y-1）=0，對任意實數a恒過直線3x-y=0 與x-2y+1=0 的交點，解方程組求得交點的坐標．
②a=2時，直線x=

1

5

不過第二象限．當a≠2時直線方程化為：y=

3a-1

a-2

x-

1

a-2

，此直線不過第二象限的充要條件為

3a-1 a-2 ＞0 -1 a-2 ≤0

，由此解得a的范圍．綜合求得a的范圍．

解答：解：①應用過定點的直線系方程，將方程整理為a（3x-y）+（-x+2y-1）=0，
對任意實數a恒過直線3x-y=0 與x-2y+1=0 的交點為（

1

5

，

3

5

），
∴直線系恒過第一象限內的定點為（

1

5

，

3

5

）．
②a=2時直線x=

1

5

 不過第二象限，當a≠2時直線方程化為：y=

3a-1

a-2

x-

1

a-2

，
此直線不過第二象限的充要條件為

3a-1 a-2 ＞0 -1 a-2 ≤0

，解得a＞2．
總上：a≥2時，直線不過第二象限．

點評：本題主要考查直線過定點問題，確定直線位置關系的幾何要素，體現了分類討論的數學思想，屬于基礎題．