Question

已知函數f（x）=ax²+bx+1（a，b為實數，a≠0，x∈R）．
（Ⅰ）若函數f（x）的圖象過點（-2，1），且方程f（x）=0有且只有一個根，求f（x）的表達式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，當x∈[-1，2]時，g（x）=f（x）-kx是單調函數，求實數k的取值范圍；
（Ⅲ）若函數f（x）為偶函數，且

f(x)，x＞0 -f(x)，x＜0

F（x）=求證：當mn＜0，m+n＞0，a＞0時，F（m）+F（n）＞0．

Answer 1

分析：（I）將（-2，1）代入f（x）=ax²+bx+1，及方程f（x）=0有且只有一個根得△=b²-4a=0．用待定系數法即可求得二次函數的解析式；
（II）由（I）可知f（x）=x²+2x+1，可得g（x）=x²+（2-k）x+1，由g（x）在x∈[-1，2]時是單調函數，可得 關于k的不等關系，解之即可得出k的取值范圍．
（Ⅲ）根據f（x）為偶函數，得到f（x）=ax²+1．從而F（x）=

ax2+1，x＞0 -ax2-1，x＜0

．由于F（m）+F（n）=f（m）-f（n），欲證F（m）+F（n）＞0，只須證明f（m）-f（n）＞0即可．

解答：解：（Ⅰ）因為f（-2）=1，即4a-2b+1=1，所以b=2a．…（1分）
因為方程f（x）=0有且只有一個根，即△=b²-4a=0．
所以4a²-4a=0．即a=1，b=2．…（2分）
所以f（x）=（x+1）²．…（3分）
（Ⅱ）因為g（x）=f（x）-kx=x²+2x+1-kx=x²-（k-2）x+1=（x-

k-2

2

）²+1-

(k-2)2

4

．    …（5分）
所以當 

k-2

2

≥2或

k-2

2

≤-1時，
即k≥6或k≤0時，g（x）是單調函數．  …（7分）
（Ⅲ）因為f（x）為偶函數，所以b=0．
所以f（x）=ax²+1．
所以F（x）=

ax2+1，x＞0 -ax2-1，x＜0

　   …（8分）
因為mx＜0，不妨設m＞0，則n＜0．
又因為m+n＞0，所以m＞-n＞0．
所以|m|＞|-n|．…（9分）
此時F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=am²+1-an²-1=a（m²-n²）＞0．
所以F（m）+F（n）＞0．         …（10分）

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、二次函數的性質、利用待定系數法求二次函數關系式等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．