Question

（2012•梅州一模）如圖，AB是半圓O直徑，∠BAC=30°，BC為半圓的切線，且BC=4

3

，則點(diǎn)O到AC的距離OD=

3

．

Answer 1

分析：首先過O作AC的垂線段OD，再利用兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等得到三角形相似，利用三角形相似的性質(zhì)得到比例式，根據(jù)直角三角形中特殊角的三角函數(shù)，求出O到AC的距離

解答：解：過O做AC的垂線，垂足是D，
∵BC是⊙O的切線，
∴∠ABC=90°，
∵OD⊥AC，
在△ABC與△ADO中，
∴∠ADO=90°，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADO，
∴

OD

BC

=

AO

AC

；
在△ABC中，
∠BAC=30°，
∴AC=2BC=8

3

，
AB=

AC2-BC2

=12，
∴OA=6=BO，
∴OD=

AO×BC

AC

=

6×4 3

8 3

=3．
故答案為：3

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形相似的判斷和性質(zhì)，本題解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用三角形相似的性質(zhì)和直角三角形的特殊角的三角函數(shù)，本題是一個(gè)中檔題目．