Question

【題目】已知a∈R，函數f（x）=x2﹣2ax+5．
（1）若a＞1，且函數f（x）的定義域和值域均為[1，a]，求實數a的值；
（2）若不等式x|f（x）﹣x2|≤1對x∈[ ， ]恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）的圖象開口向上，對稱軸為x=a＞1，

∴f（x）在[1，a]上單調遞減，

∴f（1）=a，即6﹣2a=a，解得a=2．

（2）解：不等式x|f（x）﹣x2|≤1對x∈[ ， ]恒成立，

即x|2ax﹣5|≤1對x∈[ ， ]恒成立，

故a≥ 且a≤ 在x∈[ ， ]恒成立，

令g（x）= ，x∈[ ， ]，則g′（x）=﹣ ，

令g′（x）＞0，解得： ≤x＜ ，令g′（x）＜0，解得： ＜x≤ ，

故g（x）在[ ， ）遞增，在（ ， ]遞減，

故g（x）max=g（ ）= ，

令h（x）= ，x∈[ ， ]，h′（x）= ＜0，

故h（x）在x∈[ ， ]遞減，

h（x）min=h（ ）=7，

綜上： ≤a≤7．

【解析】（1）判斷出f（x）的單調性，利用單調性列方程解出；（2）問題轉化為a≥ 且a≤ 在x∈[ ， ]恒成立，根據函數的單調性求出a的范圍即可．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．