Question

已知函數滿足．

   （1）求的值；

   （2）若數列 ，求數列的通項公式；

   （3）若數列滿足，是數列前項的和，是否存在正實數，使不等式對于一切的恒成立？若存在指出的取值范圍，并證明；若不存在說明理由．

Answer 1

解：（1）令，， ，           

令，                              

（2）∵  ①

∴  ②

由（Ⅰ），知

∴①+②，得                          

（3）∵ ，∴                            

∴，       ①

，      ②

①－②得                 

即                                               

要使得不等式恒成立，即對于一切的恒成立，

設

當時，由于對稱軸直線，且 ，而函數在 是增函數，

∴不等式恒成立

即當實數大于時，不等式對于一切的恒成立。