Question

已知導函數(x)＝5x⁴＋3ax²＋b，

(1)當且僅當x＝－1時和x＝1時f(x)取極值，

(2)極小值為－2，

(3)f(0)＝2．求f(x)的解析式及f(x)的極大值．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　本題主要考查函數極值的求法，以及導數的運算法則． 　　解答　　∵(x)＝5x4＋3ax2＋b， 　　∴設f(x)＝x5＋ax3＋bx＋c，∵f(0)＝2，∴c＝2． 　　由條件(1)可得(1)＝5＋3a＋b＝0，① 　　且(x)＝5x4＋3ax2＋b 　�。�(x＋1)(x－1)(5x2＋6a＋b＋10) 　�。�(x＋1)(x－1)(5x2＋3a＋5) 　　∵5x2＋3a＋5無實根，∴3a＋5＞0， 　　∴5x2＋3a＋5＞0恒成立． 　　此時可得下表 　　∴極小值為f(1)＝1＋a＋b＋2＝－2． 　　∴a＋b＝－5② 　　由①②可得a＝0，b＝－5． 　　∴f(x)的解析式為f(x)＝x5－5x＋2． 　　f(x)的極大值為f(－1)＝－1＋5＋2＝6． 　　評析　　利用導數求函數的極值，可先求導函數＝(x)，再令(x)＝0得根x0，再以x0的左右附近判斷的符號，左正右負為極大值，左負右正為極小值，可通過列表來判斷，另外，導數＝0的點不一定為極值點，例如y＝x3在點x＝0處無極值．