【題目】設實數列
滿足
，則下面說法正確的是（ ）
A.若
，則前2019項中至少有1010個值相等
B.若
，則當
確定時，一定存在實數
使
恒成立
C.若
，一定為等比數列
D.若
，則當確定時，一定存在實數使
恒成立
【答案】D
【解析】
對于A，由抽屜原理可知前2019項中至少有1009個值相等，即其中的偶數項都為0；對于B，由不動點理論知，
所對應的特征函數
，當a確定時，數列
單調遞增無上界；對于C，若
，不排除數列的項可以為0，所以不為等比數列；對于D，由數學歸納法能證明：若
，則當a確定時，一定存在實數M使
恒成立．
對于A，
，
，
由抽屜原理可知前2019項中至少有1009個值相等，即其中的偶數項都為0，故A錯誤；
對于B，由不動點理論知，所對應的特征函數，
當a確定時，數列單調遞增無上界，故B錯誤；
對于C，若
，則數列的項可以為0，所以不為等比數列，故C錯誤；
對于D，由數學歸納法知，當
時，
，
，使得成立；
假設
，
成立，則
，
，
，
對應的
存在，
若，則當a確定時，一定存在實數M使恒成立，故D正確．
故選：D．
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【題目】為比較甲、乙兩地某月14時的氣溫狀況，隨機選取該月中的5天，將這5天中14時的氣溫數據（單位：℃）制成如圖所示的莖葉圖.考慮以下結論：
①甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫；
②甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫；
③甲地該月14時的平均氣溫的標準差小于乙地該月14時的氣溫的標準差；
④甲地該月14時的平均氣溫的標準差大于乙地該月14時的氣溫的標準差.
其中根據莖葉圖能得到的統計結論的標號為（ ）
A.①③B.①④C.②③D.②④
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
（
）的離心率為
，左、右焦點分別為
、
，
為橢圓的下頂點，
交橢圓于另一點
、
的面積
.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點
作直線
交橢圓于
、
兩點，點關于
軸的對稱點為
，問：直線
是否過定點？若是，請求出定點的坐標；若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
是拋物線
的頂點，
，
是
上的兩個動點，且
.
（1）判斷點
是否在直線
上？說明理由；
（2）設點
是△
的外接圓的圓心，點到
軸的距離為
，點
，求
的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的長軸長為4，離心率為
．直線
交于點
，傾斜角互補，且直線與橢圓的交點分別為
（點
在點
的右側）.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）證明：直線
的斜率為定值；
（Ⅲ）在橢圓上是否存在一點
，恰好使得四邊形
為平行四邊形，若存在，分別指出此時點和的坐標；若不存在，簡述理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數），以
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求的普通方程和的直角坐標方程；
（2）把曲線向下平移
個單位，然后各點橫坐標變為原來的
倍得到曲線
（縱坐標不變），設點
是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某芯片公司為制定下一年的研發投入計劃，需了解年研發資金投入量
（單位：億元）對年銷售額
（單位：億元）的影響.該公司對歷史數據進行對比分析，建立了兩個函數模型:①
，②
，其中
均為常數，
為自然對數的底數．
現該公司收集了近12年的年研發資金投入量
和年銷售額
的數據，
，并對這些數據作了初步處理，得到了右側的散點圖及一些統計量的值．令
，經計算得如下數據：
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（1）設
和
的相關系數為
，
和
的相關系數為
，請從相關系數的角度，選擇一個擬合程度更好的模型；
（2）（i）根據（1）的選擇及表中數據，建立關于的回歸方程（系數精確到0.01）；
（ii）若下一年銷售額
需達到90億元，預測下一年的研發資金投入量是多少億元？
附：①相關系數
，回歸直線
中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
，
；
② 參考數據：
，
，
．
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