Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow$=（x，1）；
（1）若（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）時，求x的值；
（2）若向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow$的夾角為銳角，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先寫出$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow$和$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow$的坐標，根據（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）便有（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0，這樣即可求出x值；
（2）向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow$的夾角為銳角時便有，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow＞0$，并且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$不平行，這樣便可建立關于x的不等式組，從而得出x的取值范圍．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow=（1+2x，4）$，$2\overrightarrow{a}-\overrightarrow=（2-x，3）$；
∵$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）⊥（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$；
∴$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）•（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$=（1+2x）（2-x）+12=0；
解得x=-2，或$\frac{7}{2}$；
（2）若向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow$的夾角為銳角，則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow＞0$，且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$不平行；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+2＞0}\\{1-2x≠0}\end{array}\right.$；
∴x＞-2，且$x≠\frac{1}{2}$；
∴x的取值范圍為$\{x|x＞-2，且x≠\frac{1}{2}\}$．

點評 考查向量垂直的充要條件，向量加法和數乘的坐標運算，向量數量積的坐標運算，以及向量數量積的計算公式，向量平行時的坐標關系．