Question

16．已知定義在R上的可導函數f（x）的導函數為f'（x），滿足f'（x）＜f（x），且f（0）=2，則不等式f（x）-2e^x＜0的解集為（　�。�

• A． （-2，+∞）
• B． （0，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． （4，+∞）

Answer 1

分析 構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用導數研究函數的單調性，轉化不等式即可得到結論．

解答 解：構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則函數的導數為
g′（x）=$\frac{f′（x{）e}^{x}-f（x{）e}^{x}}{{{（e}^{x}）}^{2}}$，
∵f′（x）＜f（x），∴g′（x）＜0，
即g（x）在R上單調遞減；
又∵f（0）=2，∴g（0）=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$=2，
則不等式f（x）-2e^x＜0化為$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜2，
它等價于g（x）＜2，
即g（x）＜g（0），
∴x＞0，
即所求不等式的解集為（0，+∞）．
故選：B．

點評 本題主要考查不等式的求解，根據條件構造函數，利用函數的單調性和導數之間的關系是解決本題的關鍵．