Question

已知函數，其中x∈（0，1]
（Ⅰ）當a=時，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）在定義域內，f（x）＞0恒成立，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：先利用換元法求其函數的解析式f（x）=，定義域為x∈[1，+∞），
（Ⅰ）把a的值代入解析式中，化簡成“對號”函數的形式，可以直接利用結論：
 ，在單調遞減，可以求出最小值，也可以用定義證明函數的單調性，然后求其最值即可．
（Ⅱ）先化簡不等式，f（x）＞0，再由分式不等式等價轉化整式不等式ax²+x+2＞0恒成立，然后采用分離常數法求實數a的取值范圍即可．
解答：解：由題意知
∵，x∈（0，1]
設t=∈[1，+∞），可求得函數f（x）的解析式為f（x）=定義域為x∈[1，+∞） 
（Ⅰ）當a=時，f（x）=x∈[1，+∞） 
 用定義證明f（x）的單調性如下：
設1≤x₁＜x₂≤2，則f（x₁）-f（x₂）==，
∵1≤x₁＜x₂≤2
∴f（x₁）-f（x_{2 ^）＞0}
故f（x）在[1，2]上單調遞減．同理可證f（x）在[2，+∞）上單調遞增．
∴f（x）的最小值為f（2）=3．
（Ⅱ）∵x∈[1，+∞），f（x）==恒成立
∴等價于當x∈[1，+∞），ax²+x+2＞0恒成立即可
∴a＞在x∈[1，+∞）恒成立    又∈（0，1]
令g（x）==-2（）²-=-2（+）²+
即g（x）∈[-3，0）
∴a≥0
故a的取值范圍[0，+∞）．
點評：本題對學生的程度要求比較高，有一定的難度，主要考查利用函數單調性求函數的最值，及不等式的等價轉化思想．