Question

等差數列{a_n}的各項均為正數，a₁=1，前n項和為S_n．等比數列{b_n}中，b₁=1，且b₂S₂=6，b₂+S₃=8．
（Ⅰ）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

．

Answer 1

分析：（1）由題意要求數列{a_n}與{b_n}的通項公式只需求公差，公比因此可將公差公比分別設為d，q然后根據等差數列的前項和公式代入b₂S₂=6，b₂+S₃=8求出d，q即可寫出數列{a_n}與{b_n}的通項公式．
（2）由（1）可得Sn=1+2+…+n=

1

2

n(n+1)即

1

sn

 =

2

n(n+1)

而要求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

故結合

1

sn

的特征可變形為

1

sn

=2(

1

n

-

1

n+1

)代入化簡即可．

解答：解：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d，d＞0，{b_n}的等比為q
則a_n=1+（n-1）d，b_n=q^n-1
依題意有

q(2+d)=6 q+3+3d=8

，解得

d=1 q=2

或

d=- 4 3 q=9

（舍去）
故a_n=n，b_n=2^n-1
（Ⅱ）由（1）可得Sn=1+2+…+n=

1

2

n(n+1)
∴

1

sn

=2(

1

n

-

1

n+1

)
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=2(1-

1

n+1

)=

2n

n+1

．

點評：本題第一問主要考查了求數列的通項公式較簡單只要能寫出s_n的表達式然后代入題中的條件正確計算即可得解但要注意d＞0．第二問考查了求數列的前n項和，關鍵是要分析數列通項的特征將

1

sn

 =

2

n(n+1)

等價變形為

1

sn

=2(

1

n

-

1

n+1

)然后代入計算，這也是求數列前n項和的一種常用方法--裂項相消法！