Question

已知f(x)＝ax－ln(－x)，x∈(－e，0)，g(x)＝－，其中e是自然常數，a∈R．

(1)討論a＝－1時，f(x)的單調性、極值；

(2)求證：在(1)的條件下，|f(x)|＞g(x)＋；

(3)是否存在實數a，使f(x)的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵f(x)＝－x－ln(－x)　∴(x)＝－1－＝－ 　　∴當－e≤x＜－1時，(x)＜0，此時f(x)為單調遞減 　　當－1＜x＜0時，(x)＞0，此時f(x)為單調遞增 　　∴f(x)的極小值為f(－1)＝1 　　(2)∵f(x)的極小值，即f(x)在[－e，0)的最小值為1 　　∴|f(x)|min＝1 　　令h(x)＝g(x)＋＝－＋ 　　又∵(x)＝，當－e≤x＜0時，(x)≤0 　　∴h(x)在[－e，0)上單調遞減，∴h(x)max＝h(－e)＝＋＜＋＝1＝|f(x)|min 　　∴當x∈[－e，0)時，|f(x)|＞g(x)＋ 　　(3)假設存在實數a，使f(x)＝ax－ln(－x)有最小值3，x∈[－e，0)，(x)＝a－ 　　①當a≥－時，由于x∈[－e，0)，則(x)＝a－≥0，∴函數f(x)是[－e，0)上的增函數∴f(x)min＝f(－e)＝－ae－1＝3解得a＝－＜－(舍去) 　　②當a＜－時，則當－e≤x＜時，(x)＝a－＜0，此時f(x)是減函數 　　當＜x＜0時，(x)＝a－＞0，此時f(x)＝ax－ln(－x)是增函數 　　∴f(x)min＝f()＝1－ln(－)＝3解得a＝－e2．