Question

若不等式|x+1|+|x-3|≥a+

4

a

對任意的實數x恒成立，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：不等式|x+1|+|x-3| ≥a+

4

a

對任意的實數x恒成立轉化為a+

4

a

小于等于函數y=|x+1|+|x-3|的最小值，根據絕對值不等式的幾何意義可知函數y=|x+1|+|x-3|的最小值為4，因此原不等式轉化為分式不等式的求解問題．

解答：解：令y=|x+1|+|x-3|，由絕對值不等式的幾何意義可知函數y=|x+1|+|x-3|的最小值為4，
∵不等式|x+1|+|x-3| ≥a+

4

a

對任意的實數x恒成立
∴原不等式可化為a+

4

a

≤4
解得a=2或a＜0
故答案為：（-∞，0）∪{2}．

點評：考查絕對值不等式的幾何意義，把恒成立問題轉化為求函數的最值問題，體現了轉化的思想方法，屬中檔題．