Question

若雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上不存在點P使得右焦點F關于直線OP（O為雙曲線的中心）的對稱點在y軸上，則該雙曲線離心率的取值范圍為（　　）

• A．(

  2

  ，+∞)
• B．[

  2

  ，+∞)
• C．(1，

  2

  ]
• D．(1，

  2

  )

Answer 1

分析：由于雙曲線得對稱性，只討論第一象限即可．根據雙曲線方程，設其上一點P的坐標為P（

a

cosθ

，btanθ），其中為θ銳角，求出直線OP方程：y=

bsinθ

a

x．設右焦點F（c，0）關于直線OP的對稱點為Q（x₁，y₁），根據點關于直線對稱的知識，列方程組并化簡消去y₁，可得

b2sin2θ

a2

=

c-x1

c+x1

．因為不存在點P使得對稱點Q在y軸上，所以不存在θ，使x₁=0滿足該方程，討論這個方程解的情況，得

b2

a2

≤1，可得c²≤2a²，離心率滿足1＜e≤

2

．得到正確答案．

解答：解：由于雙曲線得對稱性，只討論第一象限即可．
設雙曲線位于第一象限內一點P的坐標為（

a

cosθ

，btanθ），其中為θ銳角，
∴直線OP的斜率為k=

btanθ

a cosθ

=

bsinθ

a

，可得直線OP方程為y=

bsinθ

a

x，
設右焦點F（c，0）關于直線OP的對稱點為Q（x₁，y₁），
∴

y1 x1-c • bsin θ a =-1 y1 2 = bsin θ a • c+x1 2

，消去y₁得：

b2sin2θ

a2

=

c-x1

c+x1

…（*），
接下來討論方程（*）的根的問題，
當x₁=0時，

b2sin2θ

a2

=1，將此方程進行變量分離，得：

b2

a2

=

1

sin2θ

∵0＜sin²θ＜1
∴

b2

a2

=

1

sin2θ

＞1
而根據題意，不存在點P使得對稱點Q在y軸上，所以不存在θ，使x₁=0滿足（*）式成立．
綜上所述，可得

b2

a2

≤1，即

c2-a2

a2

＜1，可得c²≤2a²，離心率e≤

2

∵雙曲線中，c＞a
∴離心率e＞1，可得1＜e≤

2

．
故選C

點評：本題給出雙曲線上不存在點P使得右焦點F關于直線OP（O為雙曲線的中心）的對稱點在y軸上，求雙曲線離心率的取值范圍，著重考查了雙曲線的簡單性質和點關于直線對稱等知識點，屬于中檔題．