Question

如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為梯形，AB平行于CD，，AD₁⊥A₁C，E是A₁B₁中點．
（1）求證：CD⊥A₁D₁．
（2）求二面角C-D₁E-B₁的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知四邊形AA₁D₁D是正方形，得AD₁⊥平面DA₁C，即AD₁⊥DC，可證DC⊥平面AA₁D₁D得 DC⊥A₁D_1．
（2）根據（1）的結論，利用垂直關系建立坐標系，求平面CD₁E的法向量，用向量的數量積求二面角的余弦值．
解答：解：（1）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱且AD=DD₁；
∴四邊形AA₁D₁D是正方形，∴AD₁⊥A₁D，
∵AD₁⊥A₁C，A₁D∩A₁C=A₁；
∴AD₁⊥平面DA₁C；∴AD₁⊥DC（4分）
∵DD₁⊥DC，DD₁∩AD₁=D₁；
∴DC⊥平面AA₁D₁D；∴DC⊥A₁D₁（6分）
（2）由（1）知以D₁為坐標原點，建立空間直角坐標系；C（0，1，1）；E（1，1，0）；
；（8分）
由題意，平面D₁EB₁的法向量為=（0，0，1）
設平面CD₁E的法向量=（x，y，z），則，
令y=-1，則=（1，-1，1）（10分）
∴；
由圖形知，二面角C-D₁E-B₁為銳角，
∴二面角C-D₁E-B₁的大小為．
點評：本題用了線面垂直的定理及定義進行線線垂直、線面垂直的轉化；借助垂直關系建立坐標系，求出平面的法向量，利用向量數量積求二面角的余弦值，注意二面角的大小．