Question

已知兩個不相等的實數a、b滿足以下關系式：a²•sinθ+a•cosθ+c=0，b²•sinθ+b•cosθ+c=0，則連接A（a²，a）、B（b²，b）兩點的直線被圓心在原點的單位圓所截得的弦長為

3

，則c=

±

1

2

．

Answer 1

分析：根據實數a與b滿足的兩個關系式得到a與b是一個一元二次方程的兩個解，利用根與系數的關系求出a+b和ab的值，利用A與B的坐標寫出直線AB的方程，然后由弦長及單位圓的半徑，利用垂徑定理及勾股定理求出圓心到直線AB的距離，再利用點到直線的距離公式求出原點到直線AB的距離d，然d等于求出的距離列出關于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．

解答：解：由題知，實數a與b為一元二次方程x2•sinθ+x•cosθ-

π

4

=0的兩個解，
所以a+b=-

cosθ

sinθ

，ab=-

c

sinθ

，
又A（a²，a）、B（b²，b），
所以直線AB的方程為：y-a=

b-a

b2-a2

（x-a²），化簡得x-（a+b）y+ab=0，
∵弦長為

3

，圓的半徑r=1，∴圓心到直線AB的距離d=

1-( 3 2 )2

=

1

2

，
即

|ab|

1+(a+b)2

=

| c sinθ |

1+( cosθ sinθ )2

=

1

2

，
解得：c=±

1

2

．
故答案為：±

1

2

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：韋達定理，勾股定理，直線的兩點式方程，以及點到直線的距離公式，當直線與圓相交時，常常利用弦長的一半，圓的半徑及弦心距構造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．