Question

已知函數f（x）=lnx+

a

x

．
（1）討論函數f（x）的單調區間；
（2）若函數f（x）在[1，e]上的最小值是

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）求函數的定義域，利用導數研究函數的單調區間．
（2）利用導數確定函數的最小值，然后利用函數f（x）在[1，e]上的最小值是

3

2

，求a．

解答：解：函數f(x)=lnx+

a

x

的定義域為（0，+∞），f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

…（1分）
（1）當a≤0時，∴f'（x）≥0故函數在其定義域（0，+∞）上是單調遞增的． …（3分）
當a＞0時，函數在（0，a）上是單調遞減的，在（a，+∞）上是單調遞減的…（5分）
（2）在[1，e]上，分別進行討論．
①當a＜1時，f'（0）＞0，函數f（x）單調遞增，其最小值為f（1）=a＜1，這與函數f（x）在[1，e]上的最小值是

3

2

矛盾，所以不成立．
②當a=1時，函數f（x）單調遞增，其最小值為f（1）=1，函數f（x）在[1，e]上的最小值是

3

2

矛盾，所以不成立．
③當1＜a＜e，函數f（x）在[1，a]上f'（x）＜0，函數單調遞減，在（a，e）上有f'（x）＞0，此時喊得單調遞增，
所以函數f（x）滿足最小值為f（a）=lna+1=

3

2

，
解得a=

e

．
④當a=e時，函數f（x）在[1，a]上f'（x）＜0，函數單調遞減，其最小值為f（e）=2，與條件矛盾．
⑤當a＞e時，函數f（x）在[1，e]上f'（x）＜0，函數單調遞減，其最小值為f（e）=1+

a

e

＞2，與條件矛盾．
綜上所述，a=

e

．

點評：本題主要考查導數與函數的單調性和最值之間的關系，要求熟練掌握導數的基本應用．