Question

已知四棱錐P-ABCD中，底面四邊形為正方形，側面PDC為正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E為PC的中點
（1）求證：PA∥平面EDB；
（2）求證：平面EDB⊥平面PBC．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證PA∥平面EDB，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證PA與平面EDB內一直線平行即可，連AC交BD于O，連EO，得EO∥PA，EO?平面EDB，PA?平面EDB滿足定理條件；
（2）欲證平面EDB⊥平面PBC，只需證線面垂直即可，DE⊥PC，BC⊥DE，BC∩PC=C，根據線面垂直的判定定理可知DE⊥平面PBC，而DE?平面EDB，滿足定理條件．
解答：證明：（1）連AC交BD于O，連EO由四邊形ABCD為正方形，得O為AC的中點
在△PAC中，由中位線定理得EO∥PA
又EO?平面EDB，PA?平面EDB；
∴PA∥平面EDB
（2）由平面PDC⊥平面ABCD，BC⊥DC，得BC⊥平面PDC，
又DE?平面PDC，則BC⊥DE，E為PC的中點，△PDC為正三角形，
∴DE⊥PC
BC∩PC=C，
∴DE⊥平面PBC，
又DE?平面EDB，
∴平面EDB⊥平面PBC
點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力．