Question

如圖，在△ABC中，已知∠ABC=45°，O在AB上，且OB=OC=

2

3

AB，又P0⊥平面ABC，DA∥PO，DA=AO=

1

2

PO．
（I）求證：PB∥平面COD；
（II）求證：PD⊥平面COD．

Answer 1

分析：（I）根據線面垂直，得到線線平行，然后即可證明線面垂直．
（II）根據題意，設出OA并表示出OP，OB，DA，然后通過線面垂直得到DA⊥平面ABC，在△PDO中，根據勾股定理判定直角三角形，然后得到PD⊥DO，最終綜合即可證明線面垂直．

解答：證明：∵PO⊥平面ABCD，AD∥PO，
∴DA⊥AB，PO⊥AB
又DA=AO=

2

3

AB．∴∠AOD=

π

4

又AO=

1

2

PO，∴OB=OP∴∠OBP=

π

4

∴OD∥PB
又PB?平面OCD，OD?平面COD．∴PB∥平面COD．
（II）依題意可設OA=a，則PO=OB=OC=2a，DA=a，
由DA∥PO，且PO⊥平面ABC，
知DA⊥平面ABC．
從而PD=DO=

2

a，
在△PDO中∵PD=DO=

2

a，PO=2a∴△PDO為直角三角形，故PD⊥DO
又∵OC=OB=2a，∠ABC=45°，∴CO⊥AB
又PO⊥平面ABC，∴CO⊥平面PAB、
故CO⊥PD．
∵CO與DO相交于點O．
∴PD⊥平面COD．

點評：本題考查直線與平面垂直的判定，以及直線與平面平行的判定，通過在幾何體中建立關系得以證明結論，屬于中檔題．