Question

11．上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)二期改擴(kuò)建工程于2015年9月正式開始，現(xiàn)需要圍建一個(gè)面積火900平方米的矩形地場(chǎng)地的圍墻，有一面長(zhǎng)度為20米的舊墻（圖中斜杠部），有甲、乙兩種維修利用舊墻方案．
甲方案：選取部分舊墻（選取的舊墻的長(zhǎng)度設(shè)為x米，x∈（0，20]），維修后單獨(dú)作為矩形場(chǎng)地的一面圍墻（如方案①圖），多余部分不維修；
乙方案：舊墻全部利用維修后，再續(xù)建一段新墻（新墻的長(zhǎng)度高x米），共同作為矩形場(chǎng)地的一面（如方案②圖）
已知舊墻維修費(fèi)用為10元/米，新墻造價(jià)為80元/米，設(shè)修建總費(fèi)用y．
（1）如果按甲方案修建，試用解析式將修建總費(fèi)用y₁表示成關(guān)于x的函數(shù)；
（2）如果按乙方案修建，試用解析式將修建總費(fèi)用y₂表示成關(guān)于x的函數(shù)；
（3）試求出兩種方案中修建總費(fèi)用y₁，y₂的最小值，并比較哪種方案最節(jié)省費(fèi)用？

Answer 1

分析 （1）設(shè)選取x米長(zhǎng)的舊墻，求得矩形的另一邊為$\frac{900}{x}$米，由題意，可得修建費(fèi)用y₁=10x+80x+$\frac{2×900×80}{x}$，整理，運(yùn)用的單調(diào)性，可得最小值；
（2）設(shè)靠舊墻的一邊長(zhǎng)為x米，其中舊墻為a米，求得矩形的另一邊為$\frac{900}{x}$米，由題意，可得修建費(fèi)用y₂=200+80（x-20）+80x+$\frac{2×900×80}{x}$；
（3）y₁=10x+80x+$\frac{2×900×80}{x}$，整理，運(yùn)用的單調(diào)性，可得最小值；y₂=200+80（x-20）+80x+$\frac{2×900×80}{x}$，整理，運(yùn)用基本不等式可得最小值，即可判斷．

解答 解：（1）設(shè)選取x米長(zhǎng)的舊墻，則矩形的另一邊為$\frac{900}{x}$米，
由題意，可得修建費(fèi)用y₁=10x+80x+$\frac{2×900×80}{x}$
=90（x+$\frac{1600}{x}$）（0＜x≤20）；
（2）設(shè)靠舊墻的一邊長(zhǎng)為x米，其中舊墻為20米，則矩形的另一邊為$\frac{900}{x}$米，
由題意，可得修建費(fèi)用y₂=200+80（x-20）+80x+$\frac{2×900×80}{x}$
=160（x+$\frac{900}{x}$）-1400，（x≥20）；
（3）由y=x+$\frac{1600}{x}$在（0，20]遞減，可得y₁的最小值為9000元；可得x=30，y₂的最小值為8200元．
由y₁＞y₂，則乙方案更好．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式在最值問(wèn)題中的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是正確審題，設(shè)出變量，求得函數(shù)的解析式及定義域，屬于中檔題．