Question

(本小題滿分14分)
設橢圓（）的兩個焦點是和（），且橢圓與圓有公共點．
（1）求的取值范圍；
（2）若橢圓上的點到焦點的最短距離為，求橢圓的方程；
（3）對（2）中的橢圓，直線（）與交于不同的兩點、，若線段的垂直平分線恒過點，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）（2）（3）

試題分析：解：（1）由已知，，
∴方程組有實數解，從而，故 …2分
所以，即的取值范圍是．                   ……………4分
（2）設橢圓上的點到一個焦點的距離為，
則
（）．                           ……………6分
∵，∴當時，，
于是，，解得 ．
∴所求橢圓方程為．                       ……………8分
（3）由得 （*）
∵直線與橢圓交于不同兩點，　∴△，即．①  ………10分
設、，則、是方程（*）的兩個實數解，
∴，∴線段的中點為，
又∵線段的垂直平分線恒過點，∴，
即，即（k）②          ……………12分
由①，②得，，又由②得，
∴實數的取值范圍是．                            ……………14分
點評：本題第一小題也可這樣來求解，橢圓跟y軸正半軸的交點為，若橢圓要與圓相交，則；第二小題可以結合橢圓的特點來求，當橢圓上的點是時，它到附近的焦點的距離就是最短距離；第三小題需要注意直線與橢圓相交時應滿足的條件。